水波动力学的流体力学基础
水波动力学的流体力学基础
本文几乎全部内容摘抄自张燕、毛根海主编的《应用流体力学（第2版）》
基本概念
恒定流（steady flow）：又称定常流，是指流场中的流体流动，其任一空间点上各运动要素（如流速、密度、压强、粘度等）都不随时间变化。
非恒定流（unsteady flow）：是指流场中的流体流动，其任一空间点上各运动要素（如流速、密度、压强、粘度等）至少有一个随时间变化。
均匀流（uniform flow）：均匀加速度为0的流动。
非均匀流（non-uniform flow）：均匀加速度不为0的流动。
渐变流（gradually varied flow）：质点的质量力中因加速度产生的惯性很小，相对于重力可以忽略不计。否则为急变流（rapidly varied flow）。
流线：表示了某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，位于曲线上的任一质点在该时刻的速度矢量，都与曲线相切。
迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
色线：又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。
流体的连续性微分方程
流动的流体的质量是守恒的。根据质量守恒定律，可以知道对于某一特定的流体空间，流进的流体质量等于流出的流体质量。
这里取一小正方体，可知\(\Delta t\)时间内对于其平行\(ZOY\)平面的两个面来说流出与流入的流体质量差值为（运用流量的定理，\(Q=\rho u A=const\)） \[ \rho u dydz\Delta t-(\rho u dydz\Delta t+\frac{\partial}{\partial x}(\rho u dydz\Delta t)dx)=-\frac{\partial}{\partial t}(\rho u )dydz\Delta t \] 其它几个面同理，这样一来单纯流动变化的流体质量总和为 \[ -\left[\frac{\partial}{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \Delta t . \] 换个角度看，单纯看这个体积内流体随时间的变化，可以写为 \[ \frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz\Delta t \] 因为流体质量变化就是因为发生了流动，所以两个表达式应当相等，从而可以写出 \[ \frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz\Delta t=-\left[\frac{\partial}{\partial x}(\rho u)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho w)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \Delta t \] 也就是 \[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho u}{\partial x}+\frac{\partial \rho v}{\partial y}+\frac{\partial \rho w}{\partial z}=0 \]
欧拉加速度
欧拉法研究流场中特定的点，其可以列出方程 \[ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{u_x}=u_x(x,y,z,t) \\ \mathrm{u_y}=u_y(x,y,z,t) \\ \mathrm{u_z}=u_z(x,y,z,t) \end{array}\right. \] 从而，其时变加速度（\(x\)方向）为 \[ \begin{aligned} a_x=\frac{du_x}{dt}=& \frac{\partial u_x}{\partial t}+\frac{\partial u_x}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u_y}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}\\ =& \frac{\partial u_x}{\partial t}+u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}+u_z\frac{\partial u_x}{\partial z} \end{aligned} \] 从而，整体的欧拉加速度为 \[ \begin{aligned} \vec{a}=\frac{d\vec{u}}{dt}= & \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+u_x\frac{\partial \vec{u}}{\partial x}+u_y\frac{\partial \vec{u}}{\partial y}+u_z\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\\ = & \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} +(\vec{u}\cdot \nabla)\vec{u} \end{aligned} \] 其中\(\nabla\)为哈密顿算子，表达式为 \[ \nabla=\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z} \]
欧拉方程（理想流体运动微分方程）
\[ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=-\frac{1}{\rho} \nabla p+\vec{f} \]
上式写成方程组的形式则是： \[ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{f_x-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}}=\frac{d u_x}{dt} \\ \mathrm{f_y-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}}=\frac{d u_y}{dt} \\ \mathrm{f_z-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}}=\frac{d u_z}{dt} \end{array}\right. \] 欧拉方程就是流体的牛顿第二定律，只不过把密度除到了右边。右边第一个是压力差项，第二个是质量力。
推导
（1）表面力
压力差项的求法是，取微元中心点的压强为\(p\)，则可列出两对面（假定垂直\(x\)轴）的压力（表面力） \[ p_1A=(p-\frac{\partial p}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz \\ p_2A=(p+\frac{\partial p}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz \] 从而得到压力差项为 \[ p_1A-p_2A=-\frac{\partial p}{\partial x}dxdydz \]
左边是欧拉加速度的缩写。
之所以表面力是取压力，是因为理想流体无粘性。
（2）质量力。易得\(x\)方向的质量力为 \[ f_x dxdydz \] （3）得到结果
由牛顿第二定律\(\sum \boldsymbol{F_x}=ma_x\)得 \[ -\frac{\partial p}{\partial x}(dxdydz)+f_x (dxdydz)=\rho (dxdydz) \frac{du_x}{dt} \]
其它几个方向联立就可以得到最后的结果
伯努利方程（欧拉微分方程的积分）
这里研究的都是恒定流，所以\(\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}=\boldsymbol{0}\)对，同时流体是不可压缩的，所以\(p=0\)。对欧拉方程的各式分别乘以\(dx,dy,dz\)，然后相加，得到 \[ f_x dx+f_y dy+f_z dz-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz\right)=\frac{d u_x}{dt}dx+\frac{d u_y}{dt}dy+\frac{d u_z}{dt}dz \]
在恒定势流、质量力只有重力、流体不可压缩条件下积分
由于质量力只有重力，所以 \[ f_x=f_y=0,f_z=-g \] 由于是势流，所以 \[ \frac{\partial u_x}{\partial y}=\frac{\partial u_y}{\partial x},\frac{\partial u_y}{\partial z}=\frac{\partial u_z}{\partial y},\frac{\partial u_x}{\partial z}=\frac{\partial u_z}{\partial x} \] 这样，可以对欧拉方程的右边进行变换，得到 \[ \begin{aligned} 原式右边=&\frac{d u_x}{dt}dx+\frac{d u_y}{dt}dy+\frac{d u_z}{dt}dz \\ =& \left(u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}+u_z\frac{\partial u_x}{\partial z}\right)dx+\left(u_x\frac{\partial u_y}{\partial x}+u_y\frac{\partial u_y}{\partial y}+u_z\frac{\partial u_y}{\partial z}\right)dy \\ & +\left(u_x\frac{\partial u_z}{\partial x}+u_y\frac{\partial u_z}{\partial y}+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)dz \\ =& \frac{1}{2} \left(2u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}+2u_y\frac{\partial u_y}{\partial x}+2u_z\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)dx+\frac{1}{2}\left(2u_x\frac{\partial u_x}{\partial y}+2u_y\frac{\partial u_y}{\partial y}+2u_z\frac{\partial u_z}{\partial y}\right)dy \\ & +\frac{1}{2}\left(2u_x\frac{\partial u_x}{\partial z}+2u_y\frac{\partial u_y}{\partial z}+2u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)dz \\ =& \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x^2}{\partial x}+\frac{\partial u_y^2}{\partial x}+\frac{\partial u_z^2}{\partial x}\right)dx+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x^2}{\partial y}+\frac{\partial u_y^2}{\partial y}+\frac{\partial u_z^2}{\partial y}\right)dy \\ & +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x^2}{\partial z}+\frac{\partial u_y^2}{\partial z}+\frac{\partial u_z^2}{\partial z}\right)dz \\ =& \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2}{2} \right)dx+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u^2}{2} \right)dy+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{u^2}{2} \right)dz \\ =& d\left(\frac{u^2}{2} \right) \end{aligned} \] 同时，利用全微分的形式，把压力差项转变为 \[ -d\left(\frac{p}{\rho}\right) \]
最后得到 \[ d\left(gz+\frac{p}{\rho}+\frac{u^2}{2}\right)=0 \] 从而，在势流场中，任意两点有 \[ z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{u_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{u_2^2}{2g} \]
前面的条件不变，但不是势流的情况下沿流线积分
这里的流场不再是势量场，从而，对于流场中的任意两点，不一定能找到一条可积的光滑曲线连起来；而势量场线积分\(\oint_L \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s}\)与路径无关，所以它可以选择任意光滑的曲线进行积分。
这时，有旋场只能沿着流线积分。最后形式差别不大。恒定流的流线与迹线重合，于是有 \[ \frac{dx}{dt}=u_x,\frac{dy}{dt}=u_y,\frac{dz}{dt}=u_z \] 将之代入欧拉微分方程的速度项中，同样可得\(d\left(\frac{u^2}{2} \right)\)的结果。其它几项不受影响。
所以最后还是得到，沿着流线 \[ z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{u_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{u_2^2}{2g} \]
纳维-斯托克斯方程（粘性流体的运动微分方程）
推导很麻烦，我直接给了： \[ -\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{x x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x=\frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho u)u \] 左边分别是压力、体积力、粘性力。
右边是流体单元的动量变化率，分别为时间项和对流项。
所以整个就是动量定理的形式。
势函数与流函数
势函数（平面恒定势流）
对于势量场而言 \[ \frac{\partial u_x}{\partial y}=\frac{\partial u_y}{\partial x},\frac{\partial u_y}{\partial z}=\frac{\partial u_z}{\partial y},\frac{\partial u_x}{\partial z}=\frac{\partial u_z}{\partial x} \] 由空间曲线积分与路径无关性可得，此时一定存在函数\(\varphi(x,y)\)是\(u_xdx+u_ydy\)的全微分的原函数。
因此，有 \[ d\varphi=u_xdx+u_ydy=\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy \] 则 \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=u_x \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=u_y \\ \end{array}\right. \] 这里，把函数\(\varphi\)称为势函数。
流函数（平面恒定不可压缩流动）
由连续性微分方程 \[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}+\frac{\partial \rho u_y}{\partial y}+\frac{\partial \rho u_z}{\partial z}=0 \] 这时因为是恒定不可压缩流动，所以\(\rho\)关于时间和空间的导数是0。从而得到平面流动的关系 \[ \frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0 \] 这样，与势函数同理，对\(-u_ydx+u_xdy\)可以得到其全微分的原函数\(\psi (x,y)\)。
因此，有 \[ d\psi=-u_ydx+u_xdy=\frac{\partial\psi}{\partial x}dx+\frac{\partial \psi}{\partial y}dy \] 则 \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \psi}{\partial y}=u_x \\ -\frac{\partial \psi}{\partial x}=u_y \\ \end{array}\right. \] 这里，把函数\(\varphi\)称为势函数。
流线与流函数
设\(ds\)为流线上的某一点的微元线矢，\(d\boldsymbol{s}=dx\boldsymbol{i}+dy\boldsymbol{j}+dz\boldsymbol{k}\)；而设\(\boldsymbol{u}\)为流体质点在该点的流速，\(\boldsymbol{u}=u_x\boldsymbol{i}+u_y\boldsymbol{j}+u_z\boldsymbol{k}\)。
由于流线矢量与流线相切，所以\(\boldsymbol{u}\)和\(d\boldsymbol{s}\)重合，故有\(d\boldsymbol{s}\times \boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}\)。
从而得到流线方程 \[ \frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}=\frac{dz}{u_z} \] 对于流函数等值线 \[ \psi(x,y)=c \\ d\psi=-u_ydx+u_xdy=0 \] 从而，得到平面流线方程 \[ \frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y} \] 所以流函数等值线就是流线。
势函数与流函数互为共轭调和函数
由于 \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \end{array}\right. \] 所以流函数与势函数是一对共轭调和函数
由于我们知道平面曲线方程的法矢量为 \[ \boldsymbol{n}=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}) \] 那么利用正向矢量之积等于0，可得其切线矢量为 \[ \boldsymbol{m}=(-\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial x}) \] 于是势函数的切线矢量为\((-u_y,u_x)\)，流函数的切线矢量为\((-u_x,-u_y)\)，两者之积显然为0。
所以流函数与势函数正交。
伯努利方程（恒定势流）的速度势方程表示
因为是恒定势流，所以 \[ \vec{V}=\nabla \varphi(x, y, z, t) \] 同时因为 \[ \begin{aligned} \nabla(\vec{A}\cdot \vec{B})= &\vec{A}\times(\nabla \times \vec{B})+(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B}\\ &+\vec{B}\times(\nabla \times \vec{A})+(\vec{B}\cdot\nabla)\vec{A} \end{aligned} \] 所以，下面这个方程（兰姆-葛罗米柯方程）是正确的 \[ \nabla\left(\frac{1}{2} \vec{V} \cdot \vec{V}\right)=(\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}+\vec{V} \times(\nabla \times \vec{V}) \] 因为无旋，所以最右边的项直接消掉，就变成了 \[ \nabla\left(\frac{1}{2} \vec{V} \cdot \vec{V}\right)=(\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V} \] 将势函数代入，就得到了 \[ (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}=\nabla\left(\frac{1}{2} V \cdot V\right)=\nabla\left(\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi\right) \] 这里，考虑欧拉微分方程组的质量力项只有重力，所以可以写作 \[ \left\{\begin{array}{l} & \frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \nabla) u=\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} \\ & \frac{d v}{d t}=\frac{\partial v}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \nabla) v= \frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial y} \\ & \frac{d w}{d t}=\frac{\partial w}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \nabla) w=\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial v}+w \frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z}-g \end{array}\right. \] 从而可以将其进一步写成 \[ \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}=-\nabla\left(g z+\frac{P}{\rho}\right) \] 将势函数以及刚才得到的关系代入，并进行空间积分，可以得到 \[ \frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}(\nabla \varphi) \cdot(\nabla \varphi)+\frac{P}{\rho}+g z=C(t) \]
\[ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot (E\mathbf{V}) = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \mathbf{S} \]