The Fundamental Elements of Tensor(未完)

缘起

对张量的学习无外乎一种纯粹的智性的乐趣，若说其中有多大的裨益倒也不见得。所用到的，便是在一些因为词语的摇撼的轰鸣的时刻进行一些遁世的思索，仿佛要隔绝肉身于外物，在纯粹的符号间耗散过剩的心血。一切不过如此罢了。

Postulate

\[ 1. \pmb{P}=P^1\pmb{g_1}+P^2\pmb{g_2} \]

\[ 2. \pmb{g_i·g^j}\equiv\delta^j_i=\begin{cases} 1& \text{i=j}\\ 0& \text{others} \end{cases}\Longrightarrow\pmb{g_1\perp g^2},\pmb{g_1\perp g^3}\\ \]

\[ 3. \pmb{g^i}=g^{ij}\pmb{g_j}, \pmb{g_i}=g_{ij}\pmb{g^j}\Longrightarrow\pmb{g_i}\pmb{g_j}=g_{ij}, \pmb{g^i}\pmb{g^j}=g^{ij}\\\\ \]

\[ 4. [\pmb{g_1\quad g_2\quad g_3}]\equiv\sqrt{g}\quad(须\pmb{g_1,g_2,g_3}线性无关)\Longrightarrow\pmb{g^i}=\frac{(\pmb{g_j\times g_k})}{\sqrt{g}}\Longrightarrow det(g_{ij})=g_1[\pmb{g_1\quad g_2\quad g_3}]=\frac{1}{\sqrt{g}}\\\\ \]

\[ 5.if [\pmb{u\quad v\quad w}]>0,[\pmb{u\quad v\quad w}]为右手系 \]